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Una mirada matemática sobre Guareña

1. Introducción

“Una mirada matemática sobre Guareña” (https://mathcitymap.eu/es/portal-es/#!/trail/392194) es un recorrido en el que se pueden descubrir y resolver problemas matemáticos con objetos del patrimonio y mobiliario de Guareña. Las rutas matemáticas (Blanco y Blanco, 2020) son un excelente recurso que permite conectar el currículo con el entorno del alumno. Hemos creado una ruta completa por Guareña compuesta por 6 tareas matemáticas que hemos digitalizado usando la aplicación MathCityMap, (https://mathcitymap.eu/es/) de manera que los alumnos pueden seguir el itinerario, recibir pistar e introducir sus soluciones en sus dispositivos móviles.

Las rutas matemáticas se popularizaron en los años 80, y son una propuesta bastante habitual en las olimpiadas matemáticas o congresos de profesores. Lo que se pretende con esta propuesta es que, además, formen parte de las actividades complementarias de la asignatura de matemáticas. Ofrecemos una propuesta didáctica en la que los alumnos comiencen a entrenar la mirada matemática que le permita contemplar su entorno desde otra perspectiva. 

 2. Como surgió el proyecto.

“Una mirada matemática sobre Guareña” surge de la necesidad de dotar a los alumnos de experiencias fuera del aula en las que puedan poner en valor los conocimientos matemáticos de su trayectoria escolar. En esta línea, venimos organizando salidas puntuales del aula para medir, estimar y calcular interactuando con algunos elementos de nuestro entorno próximo. En este proyecto hemos recopilado y ampliado estas actividades para crear un itinerario completo por nuestro pueblo: Guareña.

Mediante la inclusión de la ruta en la aplicación móvil MathCityMap (MCM) (Figura 1), los alumnos con sus teléfonos móviles pueden experimentar el paseo matemático de su entorno. La aplicación encuentra la ruta matemática más próxima al usuario mediante la localización GPS de su dispositivo móvil. En nuestro caso, la ruta está diseñada con actividades que se adaptan al currículo de 2º curso de ESO de la asignatura de matemáticas. Y ha sido puesta en práctica en su totalidad por primera vez el día 18 de febrero de 2020 con alumnos del Instituto Eugenio Frutos de Guareña.

Figura01

Aunque la ruta está diseñada para Guareña, esta y otras rutas similares son fácilmente replicables en otros lugares en los que entornos similares sirve de excusa para aprender matemáticas.

3. Descripción del proyecto. 

El tipo de actividad que presentamos fomenta el aprendizaje competencial tratando de conectar aprendizajes formales e informales del alumnado, trabajando de manera expresa algunos de los contenidos incluidos en el bloque I de currículo extremeño de 2º de la ESO: “Planificación del proceso de resolución de problemas. Estrategias y procedimientos puestos en práctica: uso del lenguaje apropiado. Reflexión sobre los resultados. Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje”. DECRETO 98/2016, de 5 de julio.

3.1 Piedra de molino. Ejemplo de una actividad de la ruta.

En cada una de las etapas de la ruta se muestran una serie de elementos del patrimonio o del mobiliario urbano que, a su vez, nos sugieren plantear y resolver problemas propios del currículo escolar. En concreto proponemos seis tareas relacionadas con contenidos de distintos bloques del currículo escolar. A modo de ejemplo de las actividades propuestas vamos a detallar una de ellas: “Piedra de molino” (Figura 2).

Figura02

La principal actividad económica de Guareña es el sector agrario. Símbolo de ésta, encontramos en la rotonda de la Estación la maquinaria antigua de una almazara de la que podemos reconocer cuatro piedras de granito con forma de cono utilizadas para moler aceitunas.

En primer lugar, situándonos ante las piedras, preguntamos a los alumnos qué conceptos matemáticos visualizan y qué problemas de matemáticas les sugieren, con la idea de que conecten sus conocimientos del aula con un contexto concreto. En segundo lugar, planteamos una actividad concreta: “estimar/calcular el peso en kilogramos de una piedra de moler aceituna”. La tarea se inserta en el bloque 3: Geometría del currículo de 2º de ESO, estrechamente relacionada con los estándares de aprendizaje: 3.1.1, 3.1.2, 3.4.1, 3.5.1. 

Los alumnos, divididos en grupos, se organizan para decidir la estrategia a seguir ya que, a diferencia de la mayor parte de las tareas escolares, esta no es una actividad que se resuelva en un paso. Su resolución requiere un procedimiento que deben diseñar los alumnos y la búsqueda de datos creíbles y necesarios para resolver la cuestión planteada. Obviamente, entre los datos necesarios a considerar estarían las medidas correspondientes y la densidad de la piedra. Los primeros se obtienen con procedimientos manipulativos y los segundos con una búsqueda en la ayuda de la aplicación móvil MCM.

Figura03

Al ver la “piedra de molino” los alumnos reconocen su forma cónica, aunque en su mayoría no recuerdan la fórmula del volumen del cono.  Los alumnos tienen a su disposición el teléfono móvil y por tanto pueden recurrir a los buscadores que frecuentan o bien hacer uso de las sugerencias de la aplicación para acceder a ella. En nuestro caso ninguno de los alumnos hace uso de la búsqueda externa a la aplicación durante la ruta.

Figura04

Se dan cuenta de que necesitan conocer la altura del cono y su radio. El radio de la base del cono es medido sin mayor dificultad por la mayor parte de los grupos. Midiendo el diámetro y dividiendo entre dos o bien colocando la cinta métrica en el centro de la piedra usando como referencia la pieza de hierro que hay en tres de los cuatro conos que nos encontramos. En cualquiera de los casos la pericia de los alumnos no es todo lo deseable que nos gustaría ya que, en bastantes grupos, como se encuentran con la pieza de hierro, simplemente deciden sortearla hacia un lado para intentar obtener el diámetro o bien pasan la cinta por encima, formando un ángulo que distorsiona la medida. Siguiendo las sugerencias de la aplicación que detallaremos posteriormente, los alumnos repiten la medición sobre la piedra que no tienen la estructura de hierro interior y con ello mejoran su precisión.

Figura05

Medir la altura presenta ciertas dificultades que es importante considerar. En las discusiones previas a la realización de la tarea, algunos alumnos confunden altura y generatriz y en muchos casos se disponen a medir la generatriz en sustitución de la altura, ya que ésta es mucho más accesible para ellos. Medir la generatriz podría ser un camino ya que junto con el radio podrías permitirnos el cálculo de la altura y, en consecuencia, utilizar la fórmula del volumen del cono. Pero su finalidad al medir la generatriz no es ésta.

Los alumnos con los que hemos realizado esta ruta están en el segundo curso de ESO, pero en nuestro caso nos acompañaban un alumno de 2º de Bachillerato por cada uno de los grupos de 2º de la ESO. Estos alumnos con mayor trayectoria escolar han resuelto a lo largo de su etapa educativa problemas de conos en los que calculan la altura a partir de la generatriz y el radio de la base usando el teorema de Pitágoras. En la puesta en práctica, estos estudiantes asociaron esta tarea a aquella tarea escolar que habían resuelto en clase, por supuesto que podría ser una estrategia válida para seguir, sin embargo, la tarea diseñada es mucho más simple para los ojos de un alumno de 2º curso de la ESO.

La altura es la distancia del vértice a la base, si el cono estuviera apoyado sobre una de la base, como suele representarse en los textos escolares podríamos medir la altura mediante una paralela exterior. Sin embargo, por la posición de los conos, apoyados sobre la generatriz, no es posible acceder a esta paralela, a este detalle volveremos posteriormente. 

En este caso concreto a uno de los conos, como muestran las imágenes de la figura 6, le falta el engranaje de hierro que lo atravesaría y por tanto es posible colocar en su interior la cinta métrica para obtener la altura directamente. Esta observación, se describe en una de las sugerencias que ofrece la aplicación MCM.

Figura06

Podría parecer una medida sencilla, sin embargo, los conos actualmente no están completos, ya que les falta parte de la piedra cercana al vértice siendo ahora conos truncados (Figura 7).
Observándose esta situación, se les pide a los alumnos que imaginen cómo sería la piedra originariamente, convirtiendo el problema en una actividad de medida y estimación.

Figura07

El desarrollo del proceso algorítmico de cálculo del volumen y del peso de la piedra es la parte del problema que menos dificultades les provocó. Señalamos que en la actividad inicial tal como ellos la realizaron pedíamos estimar el peso de las cuatro piedras. Obviamente multiplicar por cuatro nos les resulta difícil, pero hemos observado que algunos grupos no tenían en cuenta esta observación y daban solo el valor de una de ellas. Es decir, el resultado obtenido de las mediciones sin tener en cuenta cuál era la pregunta o el objetivo del problema. Esta situación, que es común en muchos resolutores, nos sugiere la necesidad de terminar siempre las actividades recordando qué era lo que nos pedía el problema y así poder dar una solución adecuada.

Asumimos que la acción manipulativa, asociada a la tarea, puede provocar algún margen y por ello hemos considerado entre los resultados un margen de error aceptable, lo que nos ha llevado a considerar en la aplicación distintos grados de acierto. Valores entre un primer intervalo que puntúa con la totalidad de los puntos y en un segundo intervalo más amplio que la da por válida, pero no con la máxima puntuación. 

Una vez que los alumnos han concluido la tarea, la aplicación muestra un ejemplo de una posible solución correcta, en la que se describen todos los pasos del proceso y los alumnos pueden comprobar su procedimiento. Concluida la tarea, la aplicación le muestra el mapa para que los alumnos puedan dirigirse a la siguiente tarea.

figura 8

3.2 Mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje.

Nos plateamos este tipo de tareas que desarrollan las competencias de nuestros alumnos como parte del proceso de enseñanza/aprendizaje siguiendo las sugerencias curriculares. Las tareas realizadas fuera del aula generan en los alumnos una serie de actitudes y emociones que aprovecharemos para la mejora de su aprendizaje. Si queremos que la experiencia suponga un impacto positivo en la mejora del proceso de enseñanza/aprendizaje, es fundamental una vez terminada la ruta, hacer una puesta en común para poner en orden todo lo aprendido, tanto en referencia a los conceptos como a los procedimientos.

En la sesión en el aula para reconsiderar la experiencia y evaluar el aprendizaje nos apoyamos en las imágenes de la ruta con el uso de los medios tecnológicos disponibles en clase para dibujar sobre las imágenes los elementos geométricos. La reflexión sobre lo que los alumnos recuerdan haber hecho, junto con las anotaciones que tenemos en los cuadernillos nos dan una visión más amplia del proceso de resolución los problemas planteados. 

Siguiendo la línea del apartado anterior, hablaremos de la actividad “piedra de molino” a modo de ejemplo. Figura09

Los alumnos fueron describiendo las decisiones que habían tomado, y recordando conceptos y aspectos claves del trabajo desarrollado como la confusión entre generatriz y altura, que representamos sobre la fotografía de piedra proyectada en la pizarra digital, lo que sirvió para profundizar el concepto (figura 9). Igualmente, el proceso seguido por los estudiantes en la actividad en la calle fue reproducido en el aula, de manera que los conocimientos quedaban mejor consolidados. Es interesante resaltar que la mayor parte de los alumnos que estaban en el aula, recordaban la fórmula del volumen del cono, que hemos dicho no sabían o recordaban el día anterior al comienzo de la actividad.

3.3 Una colaboración improvisada

A raíz de la publicación en la red social Twitter de la experiencia realizada en Guareña, dos profesores, de manera espontánea, hicieron aportaciones a la actividad a partir del uso de GeoGebra. Estas contribuciones permiten profundizar sobre los contenidos trabajados dando lugar a una nueva línea de trabajo cooperativo entre docentes de distintos puntos de la geografía que incluye GeoGebra y MathCityMap.

Así, la profesora Débora Pereiro Carbajo de Cangas (Galicia) ha creado en una actividad que permite visualizar las cuatro piedras del molino, y al introducir los datos de las medidas de los troncos de conos que los alumnos consideren, el programa los redibuja haciendo el cálculo final del volumen. (https://www.geogebra.org/m/mzjfbe5d)

Figura10

A partir de las sugerencias anteriores, Javier Cayetano Rodríguez ( grupo GSEEX de la Junta de Extremadura y director del Instituto GeoGebra de Extremadura) realizó algunas aportaciones que han dado lugar aun una nueva versión en la que además permite abatir el cono para visualizarlos desde otras perspectivas. (https://www.geogebra.org/m/g6xvy4aj)

Figura11
4. Participantes del proyecto

Los destinatarios de esta ruta son los alumnos que cursan 2º curso de ESO, ya que las actividades que en la ruta se incluyen están totalmente relacionadas con los contenido y competencias del currículo de este nivel educativo. Por la cercanía en el currículo es apropiada realizarla con alumnos de tercer curso de la ESO.

Sin embargo, hemos de decir que la ruta en la aplicación MathCityMap está abierta al público en general para que cualquier persona que tenga interés en obtener otra visión de la localidad, pueda acceder a ella libremente.

En nuestro caso, un grupo alumnos de 2º de bachillerato de la asignatura Proyecto de Investigación del Instituto Eugenio Frutos de Guareña, han tenido un papel importante en la puesta en marcha de la ruta en su primera edición. Han hecho de ayudantes de los grupos de alumnos de segundo de la ESO, para que se pudieran mover con más libertad por el pueblo, pero teniendo la ayuda de alguien que esté más preparado. Además, estos alumnos han jugado un papel de observador en el desarrollo de las pruebas. Creemos que asignar nuevos roles en el alumnado, en este caso de alumnos colaboradores del proyecto, mejora las relaciones entre el alumnado de distintas etapas educativas y contribuye a su formación personal.

Figura125. Replicabilidad del proyecto.

Figura13Desde la década de los setenta, una creciente comunidad de docentes de matemáticas ha utilizado la idea de salida del aula como contexto educativo conveniente para el aprendizaje. (#MathCityMap). “Una mirada matemática sobre Guareña” puede servir de referencia para otras rutas matemáticas que se están diseñando en Extremadura, algunas de ellas presentes en MathCityMap. 

En la actualidad hay 8 rutas extremeñas presentes en MathCityMap, podemos encontrar rutas matemáticas en Badajoz, Plasencia, Llerena, Zorita, La Morera, dos en Cáceres, además de la de Guareña.

Cada ruta es única ya que está pensada para trabajar sobre el patrimonio que nos rodea, sin embargo, las actividades que se proponen son fácilmente replicables a partir de una tarea modelo. Para ilustrar lo expuesto, en nuestra ruta se propone medir el Silo de Guareña como edificio representativo de la actividad agraria de nuestra localidad, haciendo uso de un espejo y el teorema de Tales. Esta tarea podría servir de inspiración para proponer obtener la altura de edificios emblemáticos de otras localidades usando esta misma técnica u otras parecidas que requieran de la aplicación del Teorema de Tales. 

El uso del portal web MathCityMap es sencillo y que permite crear sin demasiada dificultad técnica las rutas para otras localidades extremeñas. Recientemente, hemos creado segunda ruta matemática en la aplicación MCM a imagen de la ruta matemática por Guareña en otra localidad extremeña, en este caso La Morera a la que se puede acceder en el siguiente enlace: https://mathcitymap.eu/es/portal-es/#!/trail/683032

Figura14

En la última actualización han incorporado la posibilidad de duplicar tareas lo que nos confirma que la replicabilidad de las tareas es uno de los puntos fuertes de las rutas matemáticas. MCM no requiere de pago de licencias, derechos de autor o patentes que impidan su replicación gratuita en otros entornos educativos

6. Para saber más:

  • Blanco, L. J. y Blanco, B, (2020). Mirar la ciudad con ojos matemáticos. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, nº 87, 7 – 13. (ISSN: 1133-9853 D.L.: B1337494).
  • Nuestra ruta matemática está integrada en MathCityMap (www.mathcitymap.eu) que es un sistema de gestión de paseos matemáticos, donde los usuarios pueden crear tareas y rutas y compartirlos entre ellos o con el público. Es un proyecto del grupo de trabajo MATIS I (IDMI, Goethe-Universität Frankfurt a.M.) en cooperación con la Universidad de Potsdam (Alemania).
  • “Una mirada matemática sobre Guareña”, se puede buscar para su descarga mediante el mapa, usando el código: 392194 o accediendo directamente a este enlace: https://mathcitymap.eu/es/portal-es/#!/trail/392194?tab=0
  • Vídeo completo en el que cuento nuestra experiencia con rutas matemáticas usando MathCityMap. Pertenece a una sesión los MateMartes de la SEEM Ventura Reyes Prósper.
  • En mi cuenta de Twitter personal comparto reflexiones y algunas experiencias de aula, en concreto en el siguiente enlace se puede seguir un hilo sobre la ruta matemáticas por Guareña:

https://twitter.com/bblanc0/status/1229798546955800576?s=20

  • Blanco, L.J.; Cárdenas, J.A.; Caballero, A. y López, M.M. (2017b). Itinerario matemático en el Museo Arqueológico Provincial de Badajoz. Fichas para alumnos. Junta de Extremadura y Museo Arqueológico Provincial. 
  • Blanco, L. J. (2020) Mirar la ciudad con ojos matemáticos. Itinerarios matemáticos por Badajoz. FESPM.
  • Algunas nuevas funcionalidades de MathCityMap están detalladas en la página web: https://sites.google.com/educarex.es/rutaporlamorera/inicio.

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